PROJEK 11
Himpunlah minimal tiga masalah
baris dan deret dalam masalah nyata di sekitar mu.ujilah berbagai konsep dan
aturan barisan dan deret di dalam pemecahan berikut.!
penerapan Baris dan Deret dalam Kehidupan Sehari-hari
Penerapan
Baris dan Deret dalam Kehidupan Sehari-hari
Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering
diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan.
Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti
perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur,
maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk
menganalisisnya. Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori Baris dan
Deret. Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang
pertumbuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris
hitung. Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha
misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman
modal yang berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prsinsip deret hitung
dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut. Berpola
seperti deret hitung maksudnya di sini ialah bahwa variable yang bersangkutan
bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.
Dasar Teori Deret Hitung
Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.
Rumus Suku ke-n dari Deret Hitung
Suku ke-n dari suatu Deret Hitung dirumuskan sebagai berikut :
Un = a + (n – 1)b
Rumus Jumlah n Suku
Jumlah sebuah Deret Hitung dengan suku tertentu dirumuskan sebagai berikut :
Sn = n/2 (a + Un)
Contoh Soal yang Berkaitan dengan Baris dan Deret dalam Model Perkembangan Usaha
Perusahaan genteng “Sokajaya” menhasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan , berapa buah genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?
Jawab :
a = Suku Pertama = 3.000
b = Pembeda = 500
n = 5
Hasil Bulan Ke-5
U5 = a + (n – 1 )b
= 3.000 + (5 – 1 ) 500
= 3.000 + 2.000
= 5.0000
Jadi hasil produksi pada bulan ke-5 adalah 5.000 genteng
Jumlah Produksi genteng sampai bulan ke-5
S5 = n/2 (a + U5 )
= 5/2 (3.000 + 5.000)
= 5/2 ( 8.000)
= 20.000
Jadi jumlah produksi henteng selama lima bulan adalah 20.000
Besarnya penerimaan P.T Ccemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 Juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung berapa perkembangan penerimaannya pertahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Juta?
Jawab :
Penerimaan Tahun Ke-5 : U5 = 720
U5 = a + (5 – 1 )b
720 = a + 4b
Penerimaan Tahun Ke-7 : U7 = 980
U7 = a + (7 – 1) b
980 = a +6b
a + 4b = 720
a + 6b = 980
-2b = -260
b = 130
a + 4b = 720
a + 4.130 = 720
a = 720 – 520
a = 200
Jadi penerimaan pada tahun pertama adalah Rp. 200 Juta
Penerimaan Tahun Ke-n = 460
Un = a + (n – 1) b
460 = 200 + ( n – 1 )130
260 = 130n – 130
390 = 130n
n = 3
Jadi jumlah penerimaan sebesar Rp. 460 juta terjadi pada tahun ketiga
Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?
Jawab :
Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12
U12 = a + (n – 1) b
= 5.000 + (12 – 1) 300
= 5.000 + (11) 300
= 5.000 + 3.300 = 8.300
Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik
Jumlah keramik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.
S12 = n/2 (a + U12 )
= 12/2 (5.000 + 8.300)
= 6 (13.300)
= 79.800
Penerimaan Perusahaan Bagus dari hasil penjualannya sebesar Rp. 1,2 miliar pada tahun kelima dan sebesar Rp. 1,8 miliar pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan perusahaan tersebut konstan dari tahun ke tahun, berapakah perkembangan penerimaannya per tahun, berapakah penerimaannya pada tahun pertama dan pada tahun ke berapa penerimaannya mencapai Rp. 2,7 miliar ?
Jawab :
S7 = 1,8 miliar 1,8 = a + 6b
S5 = 1,2 miliar 1,2 = a + 4b -
0,6 = 2b
b = 0,3 miliar
Sehingga perkembangan penerimaan perusahaan tersebut per tahun : Rp. 300.000.000, Adapun penerimaan pada tahun pertama adalah :
a + 4b = 1,2
a + 4(0,3) = 1,2
a + 1,2 = 1,2
a = 0
Pada tahun pertama perusahaan tersebut belum memperoleh penerimaan. Adapun penerimaan sebesar 2,7 miliar diterimanya pada tahun :
Sn = a + (n-1) b
2,7 = 0 + (n-1) 0,3
2,7 = 0 + 0,3n – 0,3
2,7 + 0,3 = 0,3n
n = 3 / 0,3
n = 10
Jadi penerimaan sebesar Rp. 2,7 miliar diterima perusahaan pada tahun ke-10
APLIKASI DALAM ILMU EKONOMI BISNIS
Deret dalam Mengukur Pertumbuhan Penduduk
Menurut Robert Malthus, dalam mengukur Pertumbuhan Penduduk mengikuti Barisan Geometri (Ukur), sedangkan Pertumbuhan Pangan mengikuti Barisan Aritmatika (Hitung).
Secara Matematis dapat dirumuskan:
Dimana : Pt = Jumlah penduduk pada periode t
Pi = Jumlah penduduk pada awal periode
r = pertumbuhan penduduk (%)
t = Selisih waktu pada awal periode hingga periode t
Contoh:
Di Kota A pada tahun 2000 jumlah penduduknya sebnayak 2.000.000 jiwa dab menurut historis perhitungan tingkat pertumbuhan penduduknya sebesar 2% / tahun. Berapa jumlah penduduk di Kota A tahun 2004?
Barisan dalam Usaha Bisnis
Penerapan barisan bagi dunia bisnis yang lebih sesuai adalah Barisan Aritmatika. Karena apabila diukur dengan barisan geometri, variabel-variabel ekonomi seperti biaya produksi, modal, pendapatan, tenaga kerja akan kesulitan untuk mengikutinya dalam arti segera memenuhinya.
Contoh: Stok barang PT. X pada bulan 1 sampai dengan 10, setelah dihitung rata-rata permintaan barang tersebut ialah 7. Berapakah stok barang pada bulan ke-6
Deret dalam Mengukur Bunga Majemuk
Model deret untuk bunga majemuk (Bunga berbunga) ialah baris geometri khususnya bagi hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan. Transaksi dengan model ini disebut kredit.
Rumus:
Rumus ini untuk kredit system pembayaran suku bunga yang dibayarkan setahun sekali. Sebaiknya jika suku bunga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun rumusnya menjadi:
Contoh :
Mr. Bean kredit mobil dengan uang muka 10.000.000, sisa kreditnya yaitu 30.000.000 dengan suku bunga kredit 2% / bulan dalam jangka waktu 2 tahun. Berapakah jumlah kredit setelah jatuh tempo pelunasan dan berapakah jumlah harga mobil?
Dasar Teori Deret Hitung
Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.
Rumus Suku ke-n dari Deret Hitung
Suku ke-n dari suatu Deret Hitung dirumuskan sebagai berikut :
Un = a + (n – 1)b
Rumus Jumlah n Suku
Jumlah sebuah Deret Hitung dengan suku tertentu dirumuskan sebagai berikut :
Sn = n/2 (a + Un)
Contoh Soal yang Berkaitan dengan Baris dan Deret dalam Model Perkembangan Usaha
Perusahaan genteng “Sokajaya” menhasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan , berapa buah genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?
Jawab :
a = Suku Pertama = 3.000
b = Pembeda = 500
n = 5
Hasil Bulan Ke-5
U5 = a + (n – 1 )b
= 3.000 + (5 – 1 ) 500
= 3.000 + 2.000
= 5.0000
Jadi hasil produksi pada bulan ke-5 adalah 5.000 genteng
Jumlah Produksi genteng sampai bulan ke-5
S5 = n/2 (a + U5 )
= 5/2 (3.000 + 5.000)
= 5/2 ( 8.000)
= 20.000
Jadi jumlah produksi henteng selama lima bulan adalah 20.000
Besarnya penerimaan P.T Ccemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 Juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung berapa perkembangan penerimaannya pertahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Juta?
Jawab :
Penerimaan Tahun Ke-5 : U5 = 720
U5 = a + (5 – 1 )b
720 = a + 4b
Penerimaan Tahun Ke-7 : U7 = 980
U7 = a + (7 – 1) b
980 = a +6b
a + 4b = 720
a + 6b = 980
-2b = -260
b = 130
a + 4b = 720
a + 4.130 = 720
a = 720 – 520
a = 200
Jadi penerimaan pada tahun pertama adalah Rp. 200 Juta
Penerimaan Tahun Ke-n = 460
Un = a + (n – 1) b
460 = 200 + ( n – 1 )130
260 = 130n – 130
390 = 130n
n = 3
Jadi jumlah penerimaan sebesar Rp. 460 juta terjadi pada tahun ketiga
Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?
Jawab :
Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12
U12 = a + (n – 1) b
= 5.000 + (12 – 1) 300
= 5.000 + (11) 300
= 5.000 + 3.300 = 8.300
Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik
Jumlah keramik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.
S12 = n/2 (a + U12 )
= 12/2 (5.000 + 8.300)
= 6 (13.300)
= 79.800
Penerimaan Perusahaan Bagus dari hasil penjualannya sebesar Rp. 1,2 miliar pada tahun kelima dan sebesar Rp. 1,8 miliar pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan perusahaan tersebut konstan dari tahun ke tahun, berapakah perkembangan penerimaannya per tahun, berapakah penerimaannya pada tahun pertama dan pada tahun ke berapa penerimaannya mencapai Rp. 2,7 miliar ?
Jawab :
S7 = 1,8 miliar 1,8 = a + 6b
S5 = 1,2 miliar 1,2 = a + 4b -
0,6 = 2b
b = 0,3 miliar
Sehingga perkembangan penerimaan perusahaan tersebut per tahun : Rp. 300.000.000, Adapun penerimaan pada tahun pertama adalah :
a + 4b = 1,2
a + 4(0,3) = 1,2
a + 1,2 = 1,2
a = 0
Pada tahun pertama perusahaan tersebut belum memperoleh penerimaan. Adapun penerimaan sebesar 2,7 miliar diterimanya pada tahun :
Sn = a + (n-1) b
2,7 = 0 + (n-1) 0,3
2,7 = 0 + 0,3n – 0,3
2,7 + 0,3 = 0,3n
n = 3 / 0,3
n = 10
Jadi penerimaan sebesar Rp. 2,7 miliar diterima perusahaan pada tahun ke-10
APLIKASI DALAM ILMU EKONOMI BISNIS
Deret dalam Mengukur Pertumbuhan Penduduk
Menurut Robert Malthus, dalam mengukur Pertumbuhan Penduduk mengikuti Barisan Geometri (Ukur), sedangkan Pertumbuhan Pangan mengikuti Barisan Aritmatika (Hitung).
Secara Matematis dapat dirumuskan:
Dimana : Pt = Jumlah penduduk pada periode t
Pi = Jumlah penduduk pada awal periode
r = pertumbuhan penduduk (%)
t = Selisih waktu pada awal periode hingga periode t
Contoh:
Di Kota A pada tahun 2000 jumlah penduduknya sebnayak 2.000.000 jiwa dab menurut historis perhitungan tingkat pertumbuhan penduduknya sebesar 2% / tahun. Berapa jumlah penduduk di Kota A tahun 2004?
Barisan dalam Usaha Bisnis
Penerapan barisan bagi dunia bisnis yang lebih sesuai adalah Barisan Aritmatika. Karena apabila diukur dengan barisan geometri, variabel-variabel ekonomi seperti biaya produksi, modal, pendapatan, tenaga kerja akan kesulitan untuk mengikutinya dalam arti segera memenuhinya.
Contoh: Stok barang PT. X pada bulan 1 sampai dengan 10, setelah dihitung rata-rata permintaan barang tersebut ialah 7. Berapakah stok barang pada bulan ke-6
Deret dalam Mengukur Bunga Majemuk
Model deret untuk bunga majemuk (Bunga berbunga) ialah baris geometri khususnya bagi hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan. Transaksi dengan model ini disebut kredit.
Rumus:
Rumus ini untuk kredit system pembayaran suku bunga yang dibayarkan setahun sekali. Sebaiknya jika suku bunga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun rumusnya menjadi:
Contoh :
Mr. Bean kredit mobil dengan uang muka 10.000.000, sisa kreditnya yaitu 30.000.000 dengan suku bunga kredit 2% / bulan dalam jangka waktu 2 tahun. Berapakah jumlah kredit setelah jatuh tempo pelunasan dan berapakah jumlah harga mobil?
Tidak ada komentar:
Posting Komentar